Harmoonilised võnkumised (pooleli)

Võtame vaatluse alla süsteemi, kus meil on fikseeritud vedru elastsuskoefitsendiga $k$, ning vedru otsas on keha massiga $m$. Vedru otsas tasakaaluasendis olevale kuulikesele massiga $m$ mõjub vaid üks väline jõud, näiteks raskusjõud $mg$. Tasakaalu oleku säilitamiseks mõjub seega vedrule ka elastsusjõud $k \Delta l_{0}$, ehk $$ mg=k \Delta l_{0}. \tag{1}$$

Kui vedru otsas olevat kuulikest nihutatakse tasakaaluolekust $x$ võrra kõrvale, siis pikeneb vedru $\Delta l_{0}+x$ võrra, mille tagajärjel meie $x-$teljele langev resultantjõu projektsioon omandab kuju $$F=mg-k(\Delta l_{0}+x). \tag{2}$$
Arvestades valemit (1), saame $$ F=-kx.\tag{3} $$
Keha nihutamiseks tuleb teha tööd $$A=\dfrac{kx^{2}}{2}, \tag{4}$$ mis saab ka meie potentsiaalseks energiaks $$ E_{p}=\dfrac{kx^{2}}{2}. \tag{5} $$
Kineetilist energiat arvutame aga $$ E_{k}=\dfrac{mv^{2}}{2}. \tag{6} $$
Meie töös on vaja luua keha liikumise kirjeldamiseks liikumisvõrrand. Kirjutades võrrand (3) ümber Newtoni teise seaduse jaoks ning jagades mõlemad võrduse pooled keha massiga $m$ läbi, siis saame $$ \ddot{x}+\dfrac{k}{m}x=0, \tag{7} $$ mis on teistjärku lineaarne homogeenne konstantsete kordajatega diferentsiaalvõrrand. Oma mudelites kasutame diferentsiaalvõrrandite integreerimiseks neljandat järku Runge-Kutta (edaspidi RK4) algoritmi, mis suudab integreerida vaid esimest järku võrrandeid, siis tuleb meil konstrueerida esimest järku võrrandite süsteem. Asendades $ \dfrac{k}{m}=\omega^{2} $ ning $ \ddot{x}=\dot{v_{x}} $, konsutreerime kaks esimestjärku diferentsiaalvõrrandit $$ \begin{cases} \dot{x}=v_{x} \\ \dot{v_{x}}=-\omega^{2}\cdot x \end{cases} $$, mida lahendame numbriliselt RK4 meetodiga, mis näeb välja nõnda $$ y(x+h)=y(x)+CH(1)\cdot k_{1} +CH(2) \cdot k_{2} +CH(3) \cdot k_{3} +CH(4) \cdot k_{4} + CH(5) \cdot k_{5} +CH(6) \cdot k_{6}, \tag{8}$$
kus $k_{1}$, $k_{2}$ ... ja $k_{6}$ on järgmised arvutatavad koefitsendid $$ \begin{array}{l} k_{1}=h \cdot f(x+A(1) \cdot h, y)\\ k_{2}=h \cdot f(x+A(2) \cdot h, y +B(2,1) \cdot k_{1})\\ k_{3}=h \cdot f(x+A(3) \cdot h, y +B(3,1) \cdot k_{1} + B(3,2) \cdot k_{2} )\\ k_{4}=h \cdot f(x+A(4) \cdot h, y +B(4,1) \cdot k_{1} + B(4,2) \cdot k_{2}+B(4,3) \cdot k_{3} )\\ k_{5}=h \cdot f(x+A(5) \cdot h, y +B(5,1) \cdot k_{1} + B(5,2) \cdot k_{2}+B(5,3) \cdot k_{3} + B(5,4) \cdot k_{4} )\\ k_{6}=h \cdot f(x+A(6) \cdot h, y +B(6,1) \cdot k_{1} + B(6,2) \cdot k_{2}+B(6,3) \cdot k_{3} + B(6,4) \cdot k_{4} + B(6,5) \cdot k_{5} ) \end{array} $$
ning $A(k,n)$, $B(k,n)$ ja $CH(k)$ on Fehlbergi poolt tuletatud koefitsendid ning on leitavad 1969 NASA raportist. Sumbuvad võnkumised erinevad vabavõngetest selle poolest, et neile mõjub veel väline takistusjõud, mille tagajärjel võnkuv keha kaotab energiat. Väikeste kiiruste puhul on takistusjõud võrdeline keha kiirusega.

----POOLELI-----